Juozapas Užupis gimė 1929 m. sausio 23 d. Vidgirių kaime, Šakių apskrityje, Griškabūdžio parapijoje. Mokėsi Griškabūdžio pradžios mokykloje, 1942–1948 m. – Šakių „Žiburio“ gimnazijoje. 1948–1953 m. studijavo Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje, Teologijos ir filosofijos fakultete.

1952 m. rugsėjo 21 d. vyskupas Kazimieras Paltarokas Kauno arkikatedroje bazilikoje įšventino Juozapą Užupį į kunigus. Po studijų seminarijoje jis buvo paskirtas į Kauno arkivyskupiją. Dirbo Radviliškio, Žalpių, Grižų Gelgaudiškio, Ūdrijos, Marijampolės parapijose, vėliau – Kunigų seminarijos prefektu ir dėstytoju, kartu dirbo Kauno arkikatedros bazilikos vikaru. Nuo 1976 metų Juozapas Užupis – Prienų parapijos klebonas. Tuo pat metu jis ir Vilkaviškio vyskupijos notaras, viceoficiolas. 1989 m.– Vilkaviškio vyskupijos kunigų tarybos narys, Vilkaviškio vyskupijos katechetinės komisijos narys. 1989 m. Popiežius Jonas Paulius II paskyrė monsinjoru.

Monsinjoro Juozapo Užupio iniciatyva Prienų parapijoje veikia katalikiškos organizacijos. Švietėjiškai veiklai suburti mokytojai, katechetai, parapijos kunigai. Veikia parapijos pastoralinė taryba. Klebono rūpesčiu parapijos namuose buvo išlaikoma „Carito“ būstinė, vikariatas ir jaunimo centras. Kunigas nuoširdžiai dirbo ugdydamas jaunąją kartą. Parapijos namuose prisiglaudžia skausmo valandas ir netektį patyrę žmonės. Už ganytojišką veiklą, nuopelnus parapijai ugdant žmonių dvasingumą 2002 m. gegužės 16 d. Prienų rajono tarybos sprendimu kunigui monsinjorui Juozapui Užupiui suteiktas Prienų miesto garbės piliečio vardas.

Juozapas Užupis mirė 2021 m. balandžio 17 d. Palaidotas Prienų bažnyčios šventoriuje.